Mathematikaufgaben mit Lösungen
1.
Aufgabenstellung: Eine Frau habe zwei Töchter. Die
ältere bringt sie mit 20 zur Welt, die jüngere
erst im Alter von 40. Bei jeder der zwei Töchter sowie
bei deren Töchtern und allen weiteren Enkelinnen und
Urenkelinnen usw. verhält es sich ganz genauso: Jede
bringt die erste Tochter mit 20 zur Welt und die zweite
mit 40. Das Alter einer Generation betrage (speziell in
unserem Beispiel) 20 Jahre. Nach 20 Jahren hat die Frau
also gerade eine Tochter geboren, die erste
Folgegeneration zählt also auch nur einen Nachkommen.
Nach 40 Jahren kommt die zweite Tochter hinzu sowie die
erste Enkelin, insgesamt bringt also die zweite
Generation 2 Nachkommen hervor. In der dritten
Generation, also nach 60 Jahren, kommen zwei weitere
Enkelinnen hinzu, aber auch schon die erste Urenkelin
(die Tochter der ersten Enkelin). Durch diese Generation
sind also 3 weitere Nachkommen hinzugekommen. Wie viele
Nachkommen der Frau gibt es insgesamt bis einschließlich
der 10. Generation (d.h. nach 200 Jahren), wie viele in
der 20sten (nach 400 Jahren)?
Lösung:
2.
Aufgabenstellung: Aus einem Monomorphismus entstehe
durch Mutation ein Polymorphismus. Die Mutation kann
vorteilhaft oder nachteilig sein. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit für einen Bimorphismus, daß die Art
ausstirbt? Wie groß für einen Trimorphismus,
Tetramorphismus und Pentamorphismus? Welchem Grenzwert
strebt diese Wahrscheinlichkeit für ein unendlich
polymorphes Gen zu, d.h. nach unendlich vielen
Mutationen?
Betrachten Sie auch den Fall, daß nur die homozygoten
Allelkombinationen nachteilig sind.
Lösung:
3. Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie unter Annahme
eines dominant-rezessiven Erbgangs den Anteil der
Homosexuellen in der Bevölkerung. Erklären Sie, wie es
im Laufe der Evolution zur Homosexualität kam. Begründen
Sie, warum die Homosexuellen nicht aussterben, obwohl
sie sich nicht fortpflanzen. Machen Sie einen Vorschlag,
was man tun könnte, um das Problem der Homosexualität zu
beheben.
Lösung:
4.
Aufgabenstellung:
a) Ein Würfel
habe die Seitenlänge d, ein Quader gleich großen
Volumens die Seitenlängen a = b und c > a.
Zeigen Sie, daß das Verhältnis von Oberfläche zu Volumen
beim Würfel kleiner ist als beim Quader.
b) Ein
Kugel habe den Radius r, ein Rotationsellipsoid
gleich großen Volumens die Halbachsen a = b und
c > a. Zeigen Sie, daß das Verhältnis von
Oberfläche zu Volumen bei der Kugel kleiner ist als beim
Ellipsoid.
Lösung:
5.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die relative makroskopische Entropie für 2
und 3 Mikrozustände und stellen Sie das Ergebnis
graphisch dar. Bestimmen Sie jeweils die relativen
Extrema und diskutieren Sie das Ergebnis im Grenzfall
unendlich vieler Zustände.
Lösung:
6. Aufgabenstellung:
Beweisen Sie, daß die Welt nicht von Gott erschaffen
wurde, oder daß die Natur Gott selbst ist.
Lösung:
7. Aufgabenstellung:
Zeigen
Sie anhand der Hämoglobin-Allelfrequenzen (siehe
nachfolgende Tabelle), wie sich eine genetische
Vermischung von Mitteleuropäern mit südlich der Sahara
lebenden Afrikanern bzw. mit Menschen aus Südostasien im
Hinblick auf die Verbreitung der Sichelzellenanämie
(Hämoglobin S) und verwandter Hämoglobinopathien
(Hämoglobin C und E) auswirkt. Es handelt sich hierbei
um in Mitteleuropa nicht vorkommende Erbkrankheiten von
Mutationen des Hämoglobins A, die sich in homozygoter
Form lebensbedrohlich auswirken. Untersuchen Sie auch,
was passiert, wenn Afrikaner und Südostasiaten sich
untereinander vermischen? Nehmen Sie der Einfachheit
halber ein Mischungsverhältnis von 50/50 an. Welche
Schlußfolgerungen lassen sich daraus ziehen?
|
Allelfrequenz |
Mitteleuropa |
Südostasien |
Subsahara |
|
HB*A |
1,000 |
0,929 |
0,909 |
|
HB*S |
0,000 |
0,000 |
0,077 |
|
HB*C |
0,000 |
0,000 |
0,014 |
|
HB*E |
0,000 |
0,071 |
0,000 |
Lösung:
8. Aufgabenstellung:
Beweisen Sie, daß es kein Kausalitätsgesetz gibt.
Lösung:
9. Aufgabenstellung:
Beim
Rhesusfaktor sind folgende Allele bekannt: RH*cde
(rhesus-negativ), RH*CDe, RH*cDe, RH*cDE
(alle rhesus-positiv) und einige andere, die allerdings
sehr selten sind.
Zeigen
Sie anhand der folgenden Tabelle, daß die Basken
aufgrund der Rhesus-Unverträglichkeit das am stärksten
vom Aussterben bedrohte Volk Europas sind.
Welche
Schlußfolgerungen leiten Sie daraus ab?
Lösung:
10. Aufgabenstellung:
Wieviel Agrarfläche würde
zweckentfremdet, um die gesamte Bundesrepublik
ausschließlich mit Energie aus Solarzellen zu versorgen?
Lösung:
11. Aufgabenstellung:
Ein
Objekt hat drei bestimmende Merkmale, die auf es
zutreffen. Wie groß ist die kombinatorische
Wahrscheinlichkeit, daß es sich bei dem vermeintlichen
Objekt um selbiges handelt?
Lösung:
12. Aufgabenstellung:
Ein Henker soll ein Gottesurteil
vollstrecken. Er läßt den Delinquenten dazu eine Münze
werfen, die dieser zuvor aus einem Gefäß mit zwei Münzen
gezogen hat. Jede Münze hat Kopf und Zahl, die eine aus
Gold, die andere aus Silber. Der Henker erklärt dem
Delinquenten, daß er hingerichtet wird, wenn die Münze,
die er gezogen hat, entweder mit der Zahl nach oben zu
liegen kommt oder aus Gold ist. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, daß das Gottesurteil zu seinen
Gunsten ausfällt?
Lösung:
13. Aufgabenstellung:
Berechnen
Sie die Genauigkeit einer Triangulationsmessung und
diskutieren Sie das Ergebnis.
Lösung:
