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Mathematikaufgaben mit Lösungen

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1. Aufgabenstellung:

Eine Frau habe zwei Töchter. Die ältere bringt sie mit  20 zur Welt, die jüngere erst im Alter von 40. Bei jeder der zwei Töchter sowie bei deren Töchtern und allen weiteren Enkelinnen und Urenkelinnen usw. verhält es sich ganz genauso: Jede bringt die erste Tochter mit 20 zur Welt und die zweite mit 40.  Das Alter einer Generation betrage (speziell in unserem Beispiel) 20 Jahre. Nach 20 Jahren hat die Frau also gerade eine Tochter geboren, die erste Folgegeneration zählt also auch nur einen Nachkommen. Nach 40 Jahren kommt die zweite Tochter hinzu sowie die erste Enkelin, insgesamt bringt also die zweite Generation 2 Nachkommen hervor. In der dritten Generation, also nach 60 Jahren, kommen zwei weitere Enkelinnen hinzu, aber auch schon die erste Urenkelin (die Tochter der ersten Enkelin). Durch diese Generation sind also 3 weitere Nachkommen hinzugekommen. Wie viele Nachkommen der Frau gibt es insgesamt bis einschließlich der 10. Generation (d.h. nach 200 Jahren), wie viele in der 20sten (nach 400 Jahren)?

Lösung:

2. Aufgabenstellung:

Aus einem Monomorphismus entstehe durch Mutation ein Polymorphismus. Die Mutation kann vorteilhaft oder nachteilig sein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen Bimorphismus, daß die Art ausstirbt? Wie groß für einen Trimorphismus, Tetramorphismus und Pentamorphismus? Welchem Grenzwert strebt diese Wahrscheinlichkeit für ein unendlich polymorphes Gen zu, d.h. nach unendlich vielen Mutationen?

Betrachten Sie auch den Fall, daß nur die homozygoten Allelkombinationen nachteilig sind.

Lösung:

3. Aufgabenstellung:

Begründen Sie, warum die Homosexuellen nicht aussterben, obwohl sie sich nicht fortpflanzen.

Lösung:

4. Aufgabenstellung:

a) Ein Würfel habe die Seitenlänge d, ein Quader gleich großen Volumens die Seitenlängen a = b und c > a. Zeigen Sie, daß das Verhältnis von Oberfläche zu Volumen beim Würfel kleiner ist als beim Quader.

b) Ein Kugel habe den Radius r, ein Rotationsellipsoid gleich großen Volumens die Halbachsen a = b und c > a. Zeigen Sie, daß das Verhältnis von Oberfläche zu Volumen bei der Kugel kleiner ist als beim Ellipsoid.

Lösung:

5. Aufgabenstellung:

Berechnen Sie die relative makroskopische Entropie für 2 und 3 Mikrozustände und stellen Sie das Ergebnis graphisch dar. Bestimmen Sie jeweils die relativen Extrema und diskutieren Sie das Ergebnis im Grenzfall unendlich vieler Zustände.

Lösung:

6. Aufgabenstellung:

Beweisen Sie, daß die Welt nicht von Gott erschaffen wurde, oder daß die Natur Gott selbst ist.

Lösung:

7. Aufgabenstellung:

Zeigen Sie anhand der Hämoglobin-Allelfrequenzen (siehe nachfolgende Tabelle), wie sich eine genetische Vermischung von Mitteleuropäern mit südlich der Sahara lebenden Afrikanern bzw. mit Menschen aus Südostasien im Hinblick auf die Verbreitung der Sichelzellenanämie (Hämoglobin S) und verwandter Hämoglobinopathien (Hämoglobin C und E) auswirkt. Es handelt sich hierbei um in Mitteleuropa nicht vorkommende Erbkrankheiten von Mutationen des Hämoglobins A, die sich in homozygoter Form lebensbedrohlich auswirken. Untersuchen Sie auch, was passiert, wenn Afrikaner und Südostasiaten sich untereinander vermischen? Nehmen Sie der Einfachheit halber ein Mischungsverhältnis von 50/50 an. Welche Schlußfolgerungen lassen sich daraus ziehen?

Allelfrequenz

Mitteleuropa

Südostasien

Subsahara

HB*A

1,000

0,929

0,909

HB*S

0,000

0,000

0,077

HB*C

0,000

0,000

0,014

HB*E

0,000

0,071

0,000

Lösung:

8. Aufgabenstellung:

Beweisen Sie, daß es kein Kausalitätsgesetz gibt.

Lösung:

9. Aufgabenstellung:

Beim Rhesusfaktor sind folgende Allele bekannt: RH*cde (rhesus-negativ), RH*CDe, RH*cDe, RH*cDE (alle rhesus-positiv) und einige andere, die allerdings sehr selten sind.

Zeigen Sie anhand der folgenden Tabelle, daß die Basken aufgrund der Rhesus-Unverträglichkeit das am stärksten vom Aussterben bedrohte Volk Europas sind.

Welche Schlußfolgerungen leiten Sie daraus ab?

Lösung:

10. Aufgabenstellung:

Wieviel Agrarfläche würde zweckentfremdet, um die gesamte Bundesrepublik ausschließlich mit Energie aus Solarzellen zu versorgen?

Lösung:

11. Aufgabenstellung:

Ein Objekt hat drei bestimmende Merkmale, die auf es zutreffen. Wie groß ist die kombinatorische Wahrscheinlichkeit, daß es sich bei dem vermeintlichen Objekt um selbiges handelt?

Lösung:

12. Aufgabenstellung:

Ein Henker soll ein Gottesurteil vollstrecken. Er läßt den Delinquenten dazu eine Münze werfen, die dieser zuvor aus einem Gefäß mit zwei Münzen gezogen hat. Jede Münze hat Kopf und Zahl, die eine aus Gold, die andere aus Silber. Der Henker erklärt dem Delinquenten, daß er hingerichtet wird, wenn die Münze, die er gezogen hat, entweder mit der Zahl nach oben zu liegen kommt oder aus Gold ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß das Gottesurteil zu seinen Gunsten ausfällt?

Lösung:

13. Aufgabenstellung:

Berechnen Sie die Genauigkeit einer Triangulationsmessung und diskutieren Sie das Ergebnis.

Lösung:

14. Aufgabenstellung:

Erklären Sie, wie man mit 2 Fischen 5000 Leute sättigt (Joh 6,1-15).

Lösung:

15. Aufgabenstellung:

Eine ballistische Rakete wirft nach Ausbrennen ihrer letzten Antriebsstufe dieselbige ab, um keinen unnötigen Ballast mitzuführen. Berechnen Sie, um welchen Betrag sich nach dem Impulserhaltungssatz die Geschwindigkeit der Rakete ändert.

Lösung:

16. Aufgabenstellung:

Beweisen Sie, daß der absoluten Mehrheit keine demokratische Abstimmung zugrunde liegt.

Lösung:

17. Aufgabenstellung:

Beweisen Sie, daß es keinen Gott gibt.

Lösung:

18. Aufgabenstellung:

Sie wollen mit einem Flugzeug ein Fahrzeug am Boden verfolgen, das sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit u bewegt. Das Fahrzeug soll vom Flugzeug aus stets unter dem gleichen Winkel gesehen werden, d.h. es darf nicht überflogen werden. Bodenunebenheiten sind zu vernachlässigen. Wie sieht die Bahnkurve des Flugzeugs im erdfesten Bezugssystem aus, wie in einem mitbewegten Koordinatensystem? Um welchen Faktor muß die Geschwindigkeit des Flugzeugs variieren können, damit die obengenannten Bedingungen eingehalten werden können? Wie ändern sich die Verhältnisse, wenn das Fahrzeug zu einem bestimmten Zeitpunkt seine Richtung um 90° nach links ändert?

Lösung:

19. Aufgabenstellung:

In einem Land liegt die Geburtenrate mit 0,8 % pro Jahr niedriger als die Sterberate von 1,1 % pro Jahr. Das Durchschnittsalter der Bevölkerung liege bei 46,1 Jahren, die Lebenserwartung betrage 80 Jahre. Das Durchschnittsalter von Zuwanderern liege mit 35,2 Jahren deutlich niedriger als das der einheimischen Bevölkerung. Um die Zahl der Beitragszahler in die sozialen Sicherungssysteme konstant zu halten, gleicht die Regierung die rückläufige Bevölkerungsentwicklung durch genauso viele Zuwanderer aus wie Geburten fehlen.

Wie hoch müßte die Geburtenrate ohne Zuwanderung mindestens sein, damit sich das Durchschnittsalter der Bevölkerung im nächsten Jahr nicht erhöhen kann?

Welches mittlere Populationsalter ergibt sich allgemein und konkret ein Jahr nach Beginn der Zählung?

Um wie viele Jahre altert die Bevölkerung durch den Zuzug von Migranten langsamer als ohne, und was bedeutet das für die sozialen Sicherungssysteme?

Lösung:

20. Aufgabenstellung:

Unter welchem Winkel in Azimut und Elevation muß ein bewegtes Objekt am Boden aus der Luft betrachtet werden, um es so frühzeitig wie möglich erkennen und identifizieren zu können? Legen Sie zur Vereinfachung einen Quader mit der Länge a, der Breite b und der Höhe c zugrunde. Welcher Punkt muß angeflogen werden, wenn sich das Flugzeug über ebenem Terrain in einer Höhe h = 1000 m über Grund befindet und seine Flugfläche beibehalten werden soll? Geben Sie die expliziten Werte für einen Quader mit den konkreten Abmessungen a = 5 m, b = 4 m und c = 3 m an. Wie ändern sich die Werte, wenn das Flugzeug das Objekt auf einer Kreisbahn durch diesen Punkt umrunden soll?

Lösung:

21. Aufgabenstellung:

Sie messen von einem Flugzeug aus die Querschnittsfläche S eines bewegten Objekts am Boden, entweder gleichzeitig mit mehreren Flugzeugen von verschiedenen Punkten aus oder mit nur einem Flugzeug zu verschiedenen Zeiten der Reihe nach. Die Flugzeuge können untereinander Informationen austauschen. Zum Zeitpunkt der Messungen kennen Sie jeweils den Elevationswinkel des Objekts zum Flugzeug und den Azimutwinkel seiner relativen Bewegung in bezug auf das Koordinatensystem des Sensors. Welche Abmessungen hat das Objekt, wenn Sie annehmen, daß es eine konstante Länge, Breite und Höhe hat? Wie groß ist das Objekt, wenn Sie zum Zeitpunkt der ersten Messung eine Fläche von 26,27 m² bei einem Elevationswinkel von 60° und einem Azimutwinkel von 30° gemessen haben, zum Zeitpunkt der zweiten Messung eine Fläche von 26,53 m² bei einem Elevationswinkel von 30° und einem Azimutwinkel von 45° und zum Zeitpunkt der dritten Messung eine Fläche von 27,57 m² bei einem Elevationswinkel von 45° und einem Azimutwinkel von 60°? Alle Hilfsmittel sind erlaubt.

Lösung:

22. Aufgabenstellung:

Beweisen Sie, daß Erfahrungen nicht immer Ursache von etwas sein müssen.

Lösung:

23. Aufgabenstellung:

Lösen Sie die Lotka-Volterra-Gleichungen für ein Räuber-Beute-System und diskutieren Sie die Lösungen.

Lösung:

24. Aufgabenstellung:

Berechnen Sie die Phänotypenverteilung für ein Gen mit 2 Allelen bis zur vierten Generation und zeigen Sie, daß die Entropie sowohl bei der intermediären als auch bei der dominant-rezessiven Vererbung zunimmt. Interpretieren Sie das Ergebnis.

Lösung:

25. Aufgabenstellung:

Wie viele Generationen sind nötig, bis ein durch Mutation entstandenes dominantes Allel, dessen Selektionskoeffizient 2 % beträgt, sich in der Evolution vollständig durchgesetzt hat? Berechnen Sie dies am Beispiel des dominant-rezessiven Erbgangs, wenn am Ende wieder ein Gen mit nur einem Allel stehen soll. Wie viele Jahre sind dazu nötig, wenn eine Generation mit dreißig Jahren veranschlagt wird? Was schließen Sie daraus?

Lösung:

26. Aufgabenstellung:

Zeigen Sie anhand der semidominanten Vererbung, daß Bastarde in der Evolution aussterben, und daß dies selektionsbedingt ist. Nehmen Sie einen Selektionskoeffizienten an, bei dem 50 Prozent der vorteilhaften Allele einen Selektionsvorteil besitzen. In welcher Generation wird das Entropiemaximum erreicht? Interpretieren Sie das Ergebnis.

Lösung:

27. Aufgabenstellung:

Beweisen Sie, daß es keine Evolution gibt.

Lösung:

28. Aufgabenstellung:

Ein Mann verdient monatlich 10.000 € brutto. 40 % seines Einkommens werden vom Staat sofort als Lohnsteuer einbehalten, die übrigen 60 % gibt der Mann in 30 Tagen im Schnitt zu gleichen Teilen aus, wobei täglich 20 % Mehrwertsteuer anfallen. Wie schnell ist der gesamte Bruttoarbeitslohn wieder zurück im Staatssäckel gelandet, wenn diejenigen, die das ausgegebene Geld des Mannes einnehmen, es ihrerseits wieder täglich mit 20 %  versteuert ausgeben usw.? Wie kann es dennoch zu einer Staatsverschuldung kommen?

Lösung:

29. Aufgabenstellung:

Beweisen Sie, daß eine Firma ihre Ausgaben im Verhältnis zu den Einnahmen steigern muß, wenn ihre Einnahmen schrumpfen.

Lösung:

30. Aufgabenstellung:

Erläutern Sie, warum Exportüberschüsse innerhalb einer Wirtschafts- und Währungsunion dem Exportland zum Nachteil gereichen.

Lösung:

31. Aufgabenstellung:

a) Beweisen Sie, daß ein Staat durch Steigerung seiner Einnahmen nicht reicher wird. 

b) Zeigen Sie, daß dies auch für den einzelnen Bürger gilt.

c) Wie erklärt sich, wenn der Bürger scheinbar dennoch reicher geworden ist?

Lösung:

32. Aufgabenstellung:

Wie unterscheidet sich die Freßrate eines Raubvogels von der „overall kill probabilty“ eines Jagdflugzeugs? Wer ist unter sonst gleichen Bedingungen der effizientere Jäger?

Lösung:

33. Aufgabenstellung:

Sie wollen mit einer fliegenden Plattform einen Grenzverlauf überwachen und jeden Eindringling im Sicherheitskorridor ergreifen. Dabei haben Sie es mit insgesamt 1000 illegalen Grenzgängern zu tun, die täglich ihre Waren über die Grenze schmuggeln. Die Missionseffizienz ihres Systems liege bei einem Prozent pro Tag, bezogen auf die Gesamtzahl der Eindringlinge, die Sie dingfest machen müssen. Wie lange ist ihr System missionswirksam, wenn Sie wenigstens einen Eindringling pro Tag erwischen möchten? Wie ändert sich die Missionswirksamkeit, wenn Sie die Missionseffizienz verdoppeln? Nehmen Sie an, daß die täglichen Missionskosten den anfänglichen Schaden durch den illegalen Warenverkehr gerade kompensieren. Welche Schlußfolgerungen leiten Sie daraus ab?

Lösung:

34. Aufgabenstellung:

Zeigen Sie, daß Volkswirtschaften Räuber-Beute-Systeme darstellen, in denen die Unternehmer bzw. Arbeitgeber die Beute der Arbeitnehmer sind, die ihrerseits als Räuber in Erscheinung treten. Linearisieren Sie dieses System in geeigneter Weise und bestimmen Sie seine Periodendauer. Begründen Sie, warum Kommunismus und Globalisierung die beiden Grenzformen eines volkswirtschaftlichen Räuber-Beute-Systems sind.

Lösung:

35. Aufgabenstellung:

Begründen Sie anhand der objektorientierten Erkennung, warum die unter Mathematikern und Informatikern gern gebrauchte Gleichung aus der Boolschen Algebra

1 + 1 = 1

nichts mit der physikalischen Realität zu tun hat. Wie muß die Gleichung richtig lauten?

Lösung:

36. Aufgabenstellung:

Erläutern Sie, inwiefern die Problematik des Räuber-Beute-Systems und das der Endlagerung, auch wenn man es damals noch nicht so nannte, fest verankerter Bestandteil im Denken des klassischen Griechenlands war.

Lösung:

37. Aufgabenstellung:

Sie befinden sich im Punkt 1 und wollen der Reihe nach n - 1 Besichtigungspunkte aufsuchen. In welcher Abfolge müssen Sie diese Punkte anfahren, um das Besichtigungsprogramm so schnell wie möglich zu absolvieren, wenn Ihr letzter Besichtigungspunkt der Punkt n sein soll? Berechnen Sie im konkreten Fall gemäß nachfolgender Tabelle den kürzesten Weg im Falle 6 disjunkter Wegpunkte (in einem kartesischem Koordinatensystem) sowie für die geschlossene Trajektorie.

Hinweis: Nehmen Sie als Fahrtstrecke vereinfachend geradlinige Verbindungen zwischen je zwei Punkten an sowie eine konstante Fahrtgeschwindigkeit.<

Lösung:

38. Aufgabenstellung:

Beweisen Sie, daß zunehmende Armut erst durch Wachstum entsteht?

Lösung:

39. Aufgabenstellung:

Beweisen Sie, daß die helle Komplexion des Homo sapiens (blond, blauäugig) älter sein muß als die ältesten Funde des anatomisch modernen Menschen (Cro-Magnon).

Hinweis: Nehmen Sie ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, daß die Hell-Dunkel-Komplexion auf einem zweialleligen Gen mit den Allelen A und B beruht.

Lösung:

40. Aufgabenstellung:

Zwei Männer stammen von einem gemeinsamen Vorfahren ab, der vor ca. 9000 Jahren gelebt hat. Wie eng ist ihre gegenseitige Verwandtschaft bzw. die zu ihrem gemeinsamen Vorfahren?

Lösung:

41. Aufgabenstellung:

Beweisen Sie, daß unser Rentensystem ein Räuber-Beute-System darstellt und diskutieren Sie es.

Lösung:

42. Aufgabenstellung:

Beweisen Sie, daß die Welt nicht erschaffen worden ist, weil es das Nichts nicht gibt und Sein und Nichts nicht beide zugleich existieren können.

Lösung:

43. Aufgabenstellung:

Erstellen Sie einen Konturplot der Räuber-Beute-Potentials

 

indem Sie das Kurvenintegral zweiter Art lösen. Dabei sind N1 die Teilchenzahl der Beute- und N2 die Teilchenzahl der Räuberpopulation, ε1 > 0 die Wachstumsrate der Beutepopulation im ungestörten Fall, ε2 > 0 die Sterberate der Räuber, wenn keine Beute vorhanden ist, γ1 > 0 die Freßrate der Räuber pro Beutelebewesen, die gleich der Sterberate der Beute pro Räuber ist, und γ2 > 0 die Wachstumsrate der Räuber pro Beutetier.

Lösung:

44. Aufgabenstellung:

Beweisen Sie den Satz ENTWEDER Ich bin Gott ODER Mein Leben ist sinnlos.

Lösung:

45. Aufgabenstellung:

Zwei Bauern wollen ihren Wald nach der profitabelsten Weise abholzen. Bauer 1 holzt seinen Wald nach der Zeit t1 ab, Bauer 2 läßt sich doppelt soviel Zeit. Wer hat am Ende die größere Holzmenge und macht das bessere Geschäft?

Lösung:

46. Aufgabenstellung:

Berechnen Sie die zeitabhängigen Lösungen der Lotka-Volterra-Gleichungen numerisch.

Lösung:

47. Aufgabenstellung:

Begründen Sie, warum man die Ausrede, man habe den durch den Klimawandel verursachten Temperaturanstieg unterschätzt, nicht gelten lassen kann.

Lösung:

48. Aufgabenstellung:

Wie ähnlich sind sich zwei Menschen mindestens, wenn wir annehmen, daß 75 % aller autosomalen Gene nur ein einziges Allel besitzen und die relative Häufigkeit polymorpher Gene einer unendlichen geometrischen Reihe folgt?

Lösung:

49. Aufgabenstellung:

Beweisen Sie, daß unsere Renten sicher sind, wenn die Bevölkerung nicht weiter wächst.

Lösung:

50. Aufgabenstellung:

Zeigen Sie anhand von zwei Genen mit je zwei Allelen, von denen jeweils eines nur in der einen, das andere nur in der anderen Population vorhanden ist, daß eine Vermischung beider Populationen aus evolutionsbiologischer Sicht keinen Vorteil, sondern vielmehr einen signifikanten Nachteil darstellt.

Lösung:

51. Aufgabenstellung:

Beweisen Sie, daß die Mischungsentropie durch darwinistische Selektion nicht ab-, sondern zunimmt und begründen Sie, warum Erbkrankheiten nicht immer aussterben, auch wenn die Betroffenen sich nicht fortpflanzen.

Lösung:

52. Aufgabenstellung:

Finden Sie alle natürlichen Zahlen x und y, die folgende Gleichung erfüllen:

Lösung:

53. Aufgabenstellung:

Beweisen Sie, daß die Deutschen durch kontinuierlichen Zuzug langsam enteignet werden.

Lösung:

54. Aufgabenstellung:

Erläutern Sie, wie es trotz voll eingezahlter Rentenbeiträge und bekannter demographischer Entwicklung nur zu geringen Altersbezügen kommen kann und was die Politik dabei versäumt hat.

Lösung:

55. Aufgabenstellung:

Ein Faden wird schraubenförmig um einen Zylinder gewickelt. Der Faden reicht exakt viermal um den Zylinder herum. Der Kreisumfang der Rolle beträgt 4 cm, die Länge 12 cm. Welche Länge hat der Faden? (Diese Lösung haben einst 96 Prozent der Mathestudenten in den USA nicht gefunden.).

Lösung:

56. Aufgabenstellung:

Beweisen Sie, daß unser Rentensystem trotz massiver Zuwanderung kollabieren wird.

Lösung:

57. Aufgabenstellung:

Ein Mann macht Urlaub mit dem Wohnmobil nach dem Motto: „Irgendwo ist das Wetter immer schön.“ Wohin fährt er, wenn er nur zwei Urlaubsziele in die engere Auswahl gezogen hat?

Lösung:

58. Aufgabenstellung:

Zeigen Sie, daß Jesu Gebot „Liebet eure Feinde“ unlogisch ist.

Lösung:

59. Aufgabenstellung:

Beweisen Sie, daß jede genetische Vermischung stets mit Nachteilen behaftet ist.

Lösung:

60. Aufgabenstellung:

Beweisen Sie, daß „unbemanntes Fliegen“ eine notwendige Bedingung für Autonomie ist, aber keine hinreichende.

Lösung:

61. Aufgabenstellung:

Wie hoch darf die Wahrscheinlichkeit für einen Luftverkehrsunfall pro Flugstunde höchstens sein, wenn die Absturzwahrscheinlichkeit während der Zeit der In-Dienst-Stellung von 40 Jahren bei 1 % liegen soll und das Flugzeug rund um die Uhr im Einsatz ist. Wie ändert sich diese Wahrscheinlichkeit, wenn das Flugzeug täglich nur durchschnittlich 12 Stunden in der Luft ist?

Lösung:

62. Aufgabenstellung:

Beweisen Sie, daß jede genetische Vermischung stets mit Nachteilen behaftet ist.

Lösung:

63. Aufgabenstellung:

Beweisen Sie den Satz, daß man Gott nicht beweisen oder widerlegen muß, wenn man ihn axiomatisch annimmt.

Lösung:

64. Aufgabenstellung:

Beweisen Sie, daß die Sicherung der Grenzen eines Reichs immer schwieriger wird, je größer das Reich ist. Was schließen Sie daraus?

Lösung:

65. Aufgabenstellung:

Erklären Sie, warum Homosexualität erblich ist, und begründen Sie, warum Homosexuelle nicht aussterben, obwohl sie keine Kinder zeugen.

Lösung:

66. Aufgabenstellung:

Beweisen Sie, daß es nicht sein kann, daß ein bemanntes Flugzeug nicht autonom fliegt.

Lösung:

67. Aufgabenstellung:

Berechnen Sie die kürzeste Weglänge in einem zweidimensionalen -Gitter, in dem jeder einzelne Gitterwegpunkt angeflogen werden soll und das Flugzeug wieder zu seinem Ausgangspunkt zurückkehren muß. Gibt es eine eindeutige Lösung? Worauf ist zu achten?

Lösung:

68. Aufgabenstellung:

Beweisen Sie, daß Gott nicht existiert.

Lösung:

69. Aufgabenstellung:

Beweisen Sie, daß wenn Gott nicht existiert, er sich auch nicht beweisen läßt.

Lösung:

70. Aufgabenstellung:

Beweisen Sie den Satz, daß wenn alles vorherbestimmt ist, es keinen (personifizierten) Gott geben kann.

Lösung:

71. Aufgabenstellung:

Wie viele Synapsen hätte das menschliche Gehirn, wenn man annimmt, daß jedes Neuron mit jedem andern verschaltet ist? Wie viele Input- und Output-Neuronen hat das Gehirn, wenn die Zahl der Neuronen und Synapsen bekannt ist und jedes Input-Neuron mit jedem Output-Neuron verknüpft ist und umgekehrt?

Lösung:

72. Aufgabenstellung:

Gegeben seien die 3 Input-Muster A=(1,0,1), B=(1,1,1) und C=(0,1,0). Diese drei Muster sollen erkannt werden und jeweils eine spezifische Reaktion zur Folge haben. Wenn das Muster A erkannt wird, so soll Output-Neuron 1 „aktiv“ sein (den Befehl zum Wegspringen geben), wenn Muster B erkannt wird, so soll Output-Neuron 2 „aktiv“ sein (den Befehl zum Angriff geben), und entsprechend soll Output-Neuron 3 „aktiv“ sein (den Befehl zum Nichtstun geben), wenn das Muster C erkannt wird. Lösen Sie diese Aufgabe auf Grundlage eines Perceptionsmodells. Nehmen Sie an, daß alle drei Output-Neuronen ein Aktivierungspotential von 0,8 besitzen.

Lösung:

73. Aufgabenstellung:

Berechnen Sie die allgemeine Fehlerfunktion für ein zweistufiges neuronales Netz ohne verdeckte Schicht mit drei Eingabe- und drei Ausgabeneuronen, die anhand von drei Mustern trainiert werden sollen.

Lösung:

74. Aufgabenstellung:

Modellieren Sie das Schwarmverhalten des Vogelflugs anhand eines neuronalen Netzes.

Lösung:

75. Aufgabenstellung:

Bestimmen Sie die Bewegungsgleichung des Abstands von einem beliebigen Punkt P auf einem Kreis zu einem mit konstanter Winkelgeschwindigkeit auf diesem Kreis umlaufenden Teilchen.

Lösung:

76. Aufgabenstellung:

Zeigen Sie, welche Bedingungen gelten müssen, um in einer militärischen Auseinandersetzung als Sieger hervorzugehen. Welche Bedeutung haben dabei neuronale Netze?

Lösung:

77. Aufgabenstellung:

Sie wollen ein neuronales Netz für Überlebenszwecke trainieren. Welche Schätzgrößen aus Sicht des Jägers und der Beute haben Einfluß auf die Erfolgschancen des Flucht- und Angriffsverhaltens?

Lösung:

78. Aufgabenstellung:

Wie viele Neuronen braucht ein Ausgangslayer, wenn alle Arten der Welt anhand einer Binärlogik klassifiziert werden sollen? Wie verhält es sich mit den tatsächlich beschriebenen Arten?

Lösung:

79. Aufgabenstellung:

Betrachten wir zwei sich schneidende Kreise mit unterschiedlichen Radien und gemeinsamer Tangente. Berechnen Sie das Verhältnis der Bogenlängen vom Schnittpunkt des jeweiligen Kreises mit der Tangente zum gemeinsamen Schnittpunkt.

Lösung:

80. Aufgabenstellung:

Erläutern Sie anhand eines Beispiels, wie Sie ein neuronales Netz auslegen.

Lösung:

81. Aufgabenstellung:

Trainieren Sie ein zweistufiges neuronales Netz ohne verdeckte Schicht mit drei Eingabe- und drei Ausgabeneuronen durch Veränderung der Gewichte so, daß jedes der 3 Ausgangsneuronen durch sein spezifisches Trainingsmuster aktiviert wird. Ausgangsneuron 1 werde aktiviert durch das Trainingsmuster (1,0,1),  Ausgangsneuron 2 durch das Trainingsmuster (1,1,1) und Ausgangsneuron 3 durch das Trainingsmuster (0,1,0). Verwenden Sie eine sigmoide Aktivierungsfunktion.

Lösung:

82. Aufgabenstellung:

Sie wollen die Oberfläche der Einheitskugel auf eine Dezimale genau durch ein neuronales Netz trainieren. Wie sehen die Trainingsmuster an den 6 Intervallgrenzen aus? Wie gehen Sie bei der Ermittlung der Trainingsgewichte vor?

Lösung:

83. Aufgabenstellung:

Wie trainieren Sie ein neuronales Netz für ein Ausweichmanöver im Luftkampf? Wie gehen Sie vor, wenn umgekehrt ein gegnerisches Luftfahrzeug abgeschossen werden soll?

Lösung:

84. Aufgabenstellung:

Berechnen Sie die Bahngleichung des schrägen Wurfs unter Einschluß des Luftwiderstands als rekurrentes neuronales Netz.

Lösung:

85. Aufgabenstellung:

Leiten Sie die Hyperfläche des schiefen Wurfs her und untersuchen Sie die Extremwerte dieser Funktion. Welche Rolle spielt eine solche Hyperfläche in einem natürlichen neuronalen Netz?

Lösung:

86. Aufgabenstellung:

Bilden Sie vermöge eines dreistufigen neuronalen Netzes mit verdeckter Schicht sämtliche neuronalen Bitmuster, die sich mittels dreier Eingangsneuronen bilden lassen, auf ihre komplementären Bitmuster ab.

Lösung:

87. Aufgabenstellung:

Beweisen Sie, daß es keine natürliche Ungerechtigkeit gibt.

Lösung:

88. Aufgabenstellung:

Konzipieren Sie eine logische UND- bzw. ODER-Schaltung mit Hilfe eines neuronalen Netzwerks.

Lösung:

89. Aufgabenstellung:

Konzipieren Sie ein logisches XOR-Gatter mit Hilfe eines neuronalen Netzwerks.

Lösung:

90. Aufgabenstellung:

Erstellen Sie ein Perzeptron-Netzwerk für die logische UND-Verknüpfung mit Hilfe des MATLAB Tools.

Lösung:

91. Aufgabenstellung:

Separieren Sie die Musterklasse eines Würfels der Kantenlänge 2 anhand einer ausreichenden Zahl verdeckter Knoten.

Lösung:

92. Aufgabenstellung:

Berechnen Sie mit Hilfe des neuronalen Netzwerk-Tools von MATLAB die Inversen von drei binären Eingangsneuronen für jede der insgesamt acht Permutationen. Verwenden Sie als Aktivierungsfunktion eine Heaviside-Sprungfunktion.

Lösung: