Mathematikaufgaben mit Lösungen
1.
Aufgabenstellung: Eine Frau habe zwei Töchter. Die
ältere bringt sie mit 20 zur Welt, die jüngere
erst im Alter von 40. Bei jeder der zwei Töchter sowie
bei deren Töchtern und allen weiteren Enkelinnen und
Urenkelinnen usw. verhält es sich ganz genauso: Jede
bringt die erste Tochter mit 20 zur Welt und die zweite
mit 40. Das Alter einer Generation betrage (speziell in
unserem Beispiel) 20 Jahre. Nach 20 Jahren hat die Frau
also gerade eine Tochter geboren, die erste
Folgegeneration zählt also auch nur einen Nachkommen.
Nach 40 Jahren kommt die zweite Tochter hinzu sowie die
erste Enkelin, insgesamt bringt also die zweite
Generation 2 Nachkommen hervor. In der dritten
Generation, also nach 60 Jahren, kommen zwei weitere
Enkelinnen hinzu, aber auch schon die erste Urenkelin
(die Tochter der ersten Enkelin). Durch diese Generation
sind also 3 weitere Nachkommen hinzugekommen. Wie viele
Nachkommen der Frau gibt es insgesamt bis einschließlich
der 10. Generation (d.h. nach 200 Jahren), wie viele in
der 20sten (nach 400 Jahren)?
Lösung:
2.
Aufgabenstellung: Aus einem Monomorphismus entstehe
durch Mutation ein Polymorphismus. Die Mutation kann
vorteilhaft oder nachteilig sein. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit für einen Bimorphismus, daß die Art
ausstirbt? Wie groß für einen Trimorphismus,
Tetramorphismus und Pentamorphismus? Welchem Grenzwert
strebt diese Wahrscheinlichkeit für ein unendlich
polymorphes Gen zu, d.h. nach unendlich vielen
Mutationen?
Betrachten Sie auch den Fall, daß nur die homozygoten
Allelkombinationen nachteilig sind.
Lösung:
3. Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie unter Annahme
eines dominant-rezessiven Erbgangs den Anteil der
Homosexuellen in der Bevölkerung. Erklären Sie, wie es
im Laufe der Evolution zur Homosexualität kam. Begründen
Sie, warum die Homosexuellen nicht aussterben, obwohl
sie sich nicht fortpflanzen. Machen Sie einen Vorschlag,
was man tun könnte, um das Problem der Homosexualität zu
beheben.
Lösung:
4.
Aufgabenstellung:
a) Ein Würfel
habe die Seitenlänge d, ein Quader gleich großen
Volumens die Seitenlängen a = b und c > a.
Zeigen Sie, daß das Verhältnis von Oberfläche zu Volumen
beim Würfel kleiner ist als beim Quader.
b) Ein
Kugel habe den Radius r, ein Rotationsellipsoid
gleich großen Volumens die Halbachsen a = b und
c > a. Zeigen Sie, daß das Verhältnis von
Oberfläche zu Volumen bei der Kugel kleiner ist als beim
Ellipsoid.
Lösung:
